Группа исследователей из Бразилии и России предложила оригинальный способ конструирования трёхмерных фракталов — структур, которые повторяют сами себя на разных масштабах. Вместо абстрактных формул они используют обычные кубики, которые собираются в иерархические конструкции, сохраняющие симметрию куба. Такой подход не только нагляден, но и напрямую связан с задачами материаловедения: ведь реальные пористые материалы, аэрогели или металлоорганические каркасы часто имеют похожую иерархическую структуру, только в миниатюре.
Авторы назвали свои творения кубофракталами. Базовый элемент — пространственный крест из семи кубов, который затем многократно копируется и соединяется перемычками. На каждом шаге размеры конструкции растут по строгим математическим правилам, а сами кубики остаются одинаковыми, что очень удобно для возможного физического синтеза. Но главный вопрос: что получится в пределе бесконечного числа шагов? Оказывается, ответ зависит от того, как быстро увеличиваются промежутки между копиями.
Для одного из примеров, который учёные назвали кубосикстером, предел оказался неожиданно простым — это обычный отрезок, одномерная линия. Однако промежуточные фигуры, предфракталы, имеют объём, который с каждым шагом стремится к нулю. Это любопытное противоречие: сами итерации «худеют» до нулевой меры, но их замыкание даёт полноценный отрезок. Именно эти промежуточные структуры, а не теоретический предел, по мнению авторов, представляют наибольший практический интерес — например, их масса, прочность или пористость могут вести себя совсем не так, как у предельного множества.
Для другого примера с другой скоростью роста размеров получается классическое канторово множество с дробной размерностью ln3/ln5. Это уже настоящий фрактал в привычном смысле: самоподобный, с нецелой размерностью и нетривиальной структурой. Исследователи показали, что, варьировав правила соединения кубов, можно управлять итоговой размерностью и даже получать структуры, которые не являются самоподобными — например, используя обратные последовательности сжимающих отображений.
Математически работа опирается на аппарат нестационарных систем итерированных функций — это обобщение классической теории фракталов, где отображения могут меняться от шага к шагу. Такой подход позволяет строго доказывать существование предельных множеств и вычислять их размерности. Все алгоритмы реализованы в среде Wolfram Mathematica, что делает их доступными для воспроизведения.
Практическая ценность кубофракталов — в их конструктивной простоте. В отличие от классических фракталов, которые трудно воплотить в материале, здесь каждый элемент — реальный куб, а правила сборки напоминают детский конструктор. Это открывает дорогу к проектированию материалов с заданными свойствами: варьируя последовательность соединений, можно получать структуры с разной пористостью, прочностью или оптическими характеристиками. Кроме того, кубосикстер с его тривиальным пределом, но нетривиальными предфракталами, становится интересным полигоном для изучения того, как физические свойства зависят от способа сходимости — поточечной или в метрике Хаусдорфа.
В перспективе авторы планируют изучать случайные кубофракталы, где правила соединения выбираются случайно на каждом шаге, а также исследовать обратные траектории, которые могут давать совершенно новые, несамоподобные аттракторы. Работа показывает, что даже из простых кубиков можно построить математически богатый и практически полезный мир фрактальных структур.
Иллюстрация авторов исследования. Исследование опубликовано в журнале «Computational Mathematics and Information Technologies»
