Общепринятое изложение истории развития математики знакомит нас прежде всего с древними греками — Пифагором, Архимедом, Евклидом… Но египтяне построили свои пирамиды с идеальными прямыми углами и ровными гранями, которые сходятся четко в одной нужной точке на вершине, задолго до того, как Пифагор появился на свет. Да и народы Америки умели строить пирамиды, каналы и города идеальной планировки, а у инков даже было подобие калькулятора —то есть все они обладали достаточно глубокими познаниями в математике. Их «другую математику» мы сегодня не проходим в школе, но тем интереснее узнавать о ней…
Развитие математики принято делить на доэллинистический период — то есть все то, что было создано и развито до математиков Древней Греции и собственно, на эллинистический период. Таким образом, древние греки считаются основоположниками современных математических знаний, теми, кто создавал трактаты, систематизировал геометрические законы, выводил первые формулы и доказательства.
Но история развития математики началась задолго до древних греков. Люди учились считать предметы, разрабатывали удобные системы счисления, наблюдали за астрономическими объектами и составляли календари — то есть познания в математике были необходимы для решения повседневных задач древних людей. И хотя древние греки действительно были теми, кто сделал шаг от знаний прикладного характера в сторону математики как науки, люди древнего мира тоже умели производить сложные вычисления и проектировать грандиозные инженерные объекты. И некоторые достижения древних математиков ставят в тупик современных ученых.
Известно, что первые древнегреческие математики обучались у египетских жрецов. В VII веке до нашей эры египетский фараон Псамметих I позволил грекам основать поселение в Египте, в районе дельты Нила. И важным этапом в обучении греческих ученых стала поездка в Египет для знакомства с египетской наукой и культурой. В частности, Геродот говорит о многих знаниях, которые греки-математики заимствовали у египтян. В свою очередь, подданные фараона на протяжении веков имели тесные контакты с живущими по соседству с ними разными народами Междуречья, и ученые полагают, что между ними шел обмен информацией, в том числе и в области первичных математических знаний.
Математика в Древнем Египте
В Древнем Египте, развитом рабовладельческом государстве, было множество сфер, требовавших серьезных математических знаний, и это касалось не только строительства пирамид, возводить которые египтяне начали примерно в XXVII веке до н. э. Наблюдения за разливами Нила, формирование и снабжение армии, сборы и налоги и вообще весь государственный учет был в стране фараонов на высшем уровне. Уже около 5 000 лет назад у египтян были отдельные иероглифы для обозначения чисел и сформировалась десятичная система счисления. Единица, десятки, сотни и тысячи обозначались разными иероглифами.
Один из самых древних артефактов, где представлены математические записи древних египтян с применением этих иероглифов — булава Нармера раннединастического периода Древнего Египта, датируемая 3100 годами до н.э. Историки полагают, что на этой булаве изображена сцена передачи или представления фараону военных трофеев — захваченных людей и домашних животных, количество которых подписано рядом с изображениями: 400 тысяч быков, 1 миллион 422 тысячи коз и 120 тысяч пленных людей.
Конечно, созданием системы счисления развитие математики в Древнем Египте не ограничилось: решение различных прикладных задач в строительстве, сельском хозяйстве и астрономии также двигало науку вперед. Египтяне умели обращаться с дробями, складывать, вычитать, умножать и делить огромные цифры. Известно, что при храмах существовали школы и библиотеки, где обучали служащих, в том числе и математике. До наших дней дошли два папируса неплохой сохранности, с очень интересным математическим содержанием.
- Московский папирус. Возраст этого документа — приблизительно 1850 год до нашей эры, то есть период правления XII династии. Этот уникальный папирус был приобретен российским ученым-египтологом Владимиром Голенищевым в 1893 году и в настоящий момент находится в Музее изобразительных искусств им. А.С. Пушкина в Москве, как и вся остальная коллекция египетских древностей Голенищева. Размер сохранившейся части папируса — примерно 8 см на 544 см. В Московском папирусе содержится 25 задач: то есть это своего рода учебное пособие по математике с заданиями. Например, в одной из задач требуется вычислить объем усеченной пирамиды, которая имеет в своем основании квадрат, а в других требуется найти площадь круглой поверхности.
Исходя из приведенных в Московском математическом папирусе задач, можно сделать вывод, что египетские математики умели вычислять площади различных фигур — прямоугольника, треугольника и трапеции, и делали это по таким же формулам, как и все современное человечество.
Площадь круга древние египтяне тоже умели вычислять, но делали это иначе. Они возводили в квадрат 8/9 частей диаметра круга и находили площадь по формуле S=(8d/9)2. Получается, что число π у них имело значение 3,1605, и это самый точный результат для того времени, потому что все их современники на Ближнем Востоке использовали значение числа π, равное 3.
Кроме этого, по задачам из Московского папируса можно сделать вывод, что египтяне умели верно вычислять объемы фигур — цилиндра, призмы, пирамиды и даже усеченной пирамиды. Вот как выглядела египетская формула для вычисления объема усеченной пирамиды с квадратным основанием: V=(a2+ab+b2)×h/3, где a и b — стороны оснований пирамиды, а h — ее высота. И это действительно шедевр древнеегипетских математиков: ни в одной другой культуре древнего мира подобного не было. И даже выведенная намного позднее, в I веке нашей эры греком Героном Александрийским, который, кстати, жил и писал свои знаменитые труды по математике в египетской Александрии, формула для объема усеченной пирамиды была не столь элегантна и выглядела так: S=h·((a–b)2/12+((a+b)/2)2).
- Большой папирус Райнда, или папирус писца Ахмеса. Этот артефакт был приобретен английским собирателем Генрихом Райндом в 1858 г и хранится в Британском музее в Лондоне. Это самый большой из сохранившихся математических текстов Древнего Египта — его размеры около 5 метров на 32 см. Этот папирус — тоже сборник задач, составленных писцом-учителем по имени Ахмес. Всего здесь более 80 заданий, среди которых тоже много геометрических — на вычисление площади поля, состоящего из частей треугольника или круга, то есть некой сложной конфигурации. В папирусе Ахмеса также содержатся алгебраические задачи на геометрическую прогрессию. Из этого документа следует, что египтяне умели решать уравнения первой степени с одним неизвестным, извлекать квадратный корень и использовали для решения задач разные виды дробей.
Строительство пирамид — еще одна интересная сторона жизни Древнего Египта, которая явно требовала глубоких знаний в математике, особенно в геометрии. Причем более легкие для возведения усеченные и ступенчатые пирамиды строили и в Китае, и в Мезоамерике. Да и в самом Древнем Египте начинали с более простых инженерных конструкций: знаменитая пирамида Джосера, построенная около 2 650 года до н.э., была ступенчатой. А вот полноценные неусеченные пирамиды, плоские грани которых четко сходились в одной точке на вершине, могли возводить только древние египтяне.
Многие из вас, возможно, слышали и о египетском треугольнике: это прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5, где 5 — это гипотенуза. Значения сторон — всегда целые числа, и их можно было увеличить до любых значений, сохранив пропорцию. Такие прямоугольные треугольники использовались при построении прямых углов для разметки земельных участков и в строительстве. При этом использовался мерный шнур с 12-ю метками: прямо на земле вбивались 3 колышка, и можно было легко и быстро построить прямоугольный треугольник и идеально ровный угол в 90°. Кстати, эти треугольники были известны и математикам в Месопотамии.
Известно, что египтяне применяли прямоугольную разметку на местности для переноса чертежей при строительстве, то есть у них было некое подобие геодезической сетки. А чтобы построить большую пирамиду, такую, как, например, пирамида Хеопса в Гизе, нужно было иметь идеально ровную поверхность под основанием пирамиды. Но в природе таких площадей не существует — их необходимо создать искусственно, то есть выровнять поверхность при помощи строительных материалов. Пирамида Хеопса с основанием в виде квадрата со стороной более 230 метров имеет отклонение линий основания от линий горизонта всего 6 и 14 миллиметров: такая почти идеальная горизонтальная поверхность указывает на то, что древние египтяне, возможно, использовали прообраз современного теодолита — прибора для геодезической съемки. Кстати, все тот же грек Герон Александрийский в I веке нашей эры в своем трактате «О диоптре» описывает прибор, выполняющий функцию теодолита. Не исключено, что эти познания он позаимствовал у египтян.
Математика Мезоамерики
Строительством грандиозных пирамид и храмов, и весьма успешно, занимались также представители культур Мезоамерики — майя, ацтеки и инки. Эти народы на протяжении тысячелетий развивались изолированно от цивилизаций Старого Света и шли к познанию своим путем. Однако это не помешало им также преуспеть в математике.
Майя. Математика у майя развивалась как прикладная наука для решения конкретных задач, в первую очередь для ведения календаря и для целей строительства. Майя отлично разбирались в астрономии и имели обсерватории: они не только составили свой знаменитый календарь — один из самых точных в мире, но и умели предсказывать даты солнечных и лунных затмений, вычисляли ход движения Луны, Солнца, Венеры, Марса и других планет. На различные астрономические даты у индейцев майя были ориентированы все главные события в жизни — от церемоний жертвоприношений до сроков посевов сельскохозяйственных культур. И если даты посевов у древних египтян были связаны с разливами Нила, то у майя все ориентировалось на начало и окончание сезона дождей — за ним строго следили и составляли прогнозы.
Индейцы майя применяли оригинальную двадцатеричную систему счисления — видимо, ориентируясь на сумму всех пальцев, и на руках, и на ногах. То есть они считали так: сначала единицы, затем двадцатки, далее, после складывания двадцаток, счет доходил до 400, затем считали по четыре сотни и так далее. У них было понятие нуля. Кстати, авторство его в математической науке приписывается жителям древней Индии, однако майя, судя по всему, также пришли к нему, но своим путем.
Города майя были спроектированы таким образом, что пересечение улиц образовывало ровные прямоугольные кварталы: то есть они тоже владели навыками разметки местности и, возможно, применяли при этом прямоугольные треугольники. Да и постройка пирамид подразумевает навыки в области геометрии, такие как сравнение и построение равносторонних и прямоугольных треугольников, измерение углов. Увы, после открытия Колумбом Америки конкистадоры и католические миссионеры целенаправленно сжигали древние книги и рукописи майя. Если бы не этот прискорбный факт, мы знали бы об уровне развития математических знаний этого народа намного больше, да и их соседей тоже.
Инки. Интересно, что инки, обитавшие южнее, в Андах, имели свою, отличную от майя, собственную математику, в которой также присутствовало понятие нуля, но при этом была десятеричная система счисления. Инки построили крупную централизованную империю со столицей в Куско. И, как и в Древнем Египте, здесь был развит тщательный государственный учет всего и вся: от налогов и пошлин до численности населения, лам и урожая кукурузы. При этом для записи числовой информации у инков имелась своя узелковая система письма — кипу. Кипу представляли собой систему нитей разного цвета, на которых завязывались узелки, обозначающие цифры. В одном кипу могло было быть до 2 500 нитей разного цвета. Кипу использовались и для записи числовой информации, и для ее передачи посредством специальных посыльных. Например, записанные при помощи кипу отчеты по сбору налогов было удобно передавать из отдаленных провинций в центр.
Примечательно, что кипу — это узелковое письмо именно для записи числовой информации, а вот письменности как таковой, которая служила бы для передачи устной речи, у инков не было. Хотя есть версия, что кипу — это и есть письменность, но пока не удалось это доказать путем расшифровки какой-то информации. Известно, что для делопроизводства у чиновников империи инков были специальные доски с надписями, но все они были также уничтожены испанскими конкистадорами.
У инков были специальные школы для детей знати, и наследников трона: здесь обучали, как использовать кипу и специальное счетное устройство под названием юпана. При помощи кипу и юпана инки умели не только складывать и вычитать числа, но и умножать и делить. В переводе с языка кечуа юпана — это счетное устройство.
Юпана были сделаны в виде глиняных ящичков с перегородками и отдельными отсеками внутри. В эти отсеки помещались камешки или зернышки, которые использовались для счета. В испанских хрониках есть сведения о том, что инки использовали юпана именно для счета, и приводились описания действий с зернами кукурузы, которые перекладывали по особой системе для вычислений. То есть, нет никаких сомнений в том, что это именно инструмент для математических расчетов, наподобие счетов. Но как им пользовались? Математики современности до сих пор выдвигают разные версии того, каким именно образом и что вычисляли инки при помощи своих загадочных «калькуляторов», и к единому мнению ученые XXI века все еще не пришли. Интересно, что было найдено несколько отличающихся друг от друга видов юпана с отсеками разной высоты — видимо, они использовались для каких-то отдельных видов математических действий.
***
Зарождение математических знаний шло параллельными путями в разных цивилизациях. Натуральные числа, дроби, простые действия и вычисление площадей разных фигур были доступны многим народам. Своя математическая наука была и в Древнем Египте, и в Древнем Китае, и на Ближнем Востоке, и в государствах Мезоамерики. Увы, не все цивилизации постепенно эволюционировали и сохранились до наших дней. Математические достижения древних египтян переняли и доработали греки — их соседи по Средиземноморью. А вот математика древних культур Нового Света с приходом испанцев остановилась в своем развитии, и большинство знаний было утрачено навсегда. Но возможно, еще не все потеряно, и современная наука сможет наконец-то ответить на вопрос, как древние инки считали на своих загадочных «калькуляторах».
Автор текста Ольга Фролова
На обложке Плита с гробницы царевны Неферетиабет (2590—2565 до н. э., Гиза). Изображение: Rama, CC BY-SA 3.0 FR, via Wikimedia Commons
