Ученые Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова и Института химии и технологии редких элементов и минерального сырья имени И. В. Тананаева Кольского научного центра РАН создали универсальный математический конвейер для количественного анализа трехмерных изображений многофазных материалов. Новый подход позволяет извлекать из рентгеновских томограмм данные о связности, анизотропии и пространственной организации минералов, недоступные традиционным методам.
Рентгеновская микротомография давно дает возможность получать объемные «снимки» внутренней структуры камня, не распиливая его. Такое изображение намного информативнее традиционного двумерного среза и выявляет прожилки и соединения, связи и контакты входящих в образец минералов, форму каждого кристалла, трещины, извилистость и сколы. Однако словесное описание томограммы субъективно: один исследователь заметит в ней каналы, другой – плоскости, третий – взаимодействия округлых зерен с криволинейными прожилками.
Самое важное в научном знании – воспроизводимость, и обеспечить ее может только строгий численный язык. Существующие математические инструменты – фрактальная размерность, показывающая степень заполнения пространства, числа Бетти, описывающие количество изолированных зерен, сквозных каналов и замкнутых пор, а также функционалы Минковского, характеризующие объем, площадь поверхности и кривизну, – дают лишь усредненные «портреты» фаз, но не отвечают на вопрос, где именно и в каком направлении сосредоточены те или иные структуры.
Авторы работы объединили все эти показатели в единый вычислительный конвейер и дополнили их тремя новыми модулями. Первый – метод «виртуальных разрезов»: трехмерная модель мысленно рассекается плоскостями вдоль каждой из осей координат, после чего топологические показатели пересчитываются для двух половинок. Это выявляет зоны, в которых структура наиболее чувствительна к расслоению. Второй модуль оценивает направленную связность – пронизывает ли данная фаза образец от края до края. Третий – тензор Минковского – количественно описывает преимущественную ориентацию поверхностей зерен.
Работоспособность метода была продемонстрирована на образце меймечита из Контозерского вулкано-плутонического комплекса Кольского полуострова. Математический анализ показал, что магнетитовая фаза, несмотря на рекордную фрагментарность и огромную удельную площадь поверхности, не образует ни одного сквозного канала через образец, тогда как другие фазы формируют единую сеть, пронизывающую породу вдоль вертикальной оси. «Виртуальные разрезы» подтвердили скрытую направленность структур: трещиноватость и поры ряда минералов оказались наиболее чувствительны к расслоению именно вдоль вертикали, что математически доказывает их вытянутость.
Учитывая, что при этом не изготавливались традиционные шлифы, а выводы о пространственном расположении, связности и анизотропии фаз были сделаны исключительно на основе их трехмерной геометрии и топологии рентгеновской плотности, можно смело утверждать: сделан новый существенный шаг в возможностях анализа геологических пород. Трехмерное изображение одного образца, обработанное по новой методике, даст огромное количество сведений о его внутренней архитектуре сразу.
Разработанный конвейер универсален: его можно применять не только к горным породам, но и к пористым средам, композитным материалам, биоматериалам, аддитивно изготовленным деталям и любым другим объектам, для которых доступно трехмерное томографическое изображение.
Исследование выполнено при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации и Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.
Результаты опубликованы в журнале Mathematics.
Источник: Минобрнауки России
