О том, как достижения в математике позволили создать основу для прогнозирования одного из типов землетрясений — стартовых, мы рассказывали чуть менее года назад («Поиск», №11, 2023).
Российские ученые выяснили, что первые толчки возникают в момент, когда расстояние между литосферными плитами еще заметно — 40-50 метров. А ведь раньше считалось, что только столкновение подземных твердынь приводит к роковым последствиям.
Тогда об этих работах рассказал академик РАН Владимир БАБЕШКО, глава НИЦ прогнозирования и предупреждения геоэкологических и техногенных катастроф Кубанского госуниверситета. Он утверждал, что уже сейчас можно применять на практике новые математические модели, описывающие сложный геологический процесс. Для этого на границах литосферных плит надо установить ГЛОНАСС-приемники, способные благодаря автоматической системе съема информации уловить даже их сантиметровые сдвиги и забить тревогу.
Но чтобы развивать это перспективное направление, ученым нужна поддержка. Такое пожелание Владимир Андреевич высказал Кубанскому научному фонду, открытому в Краснодарском крае по инициативе его губернатора.
Пожелание услышали. Фонд поддержал представленный от Кубанского госуниверситета проект под руководством доктора физико-математических наук А.В.Павловой, тем самым сделав важный шаг к обеспечению безопасности не только побережья Черного моря, Краснодарского края, но и других сейсмоопасных регионов России.
Зная со слов В.Бабешко, что в основе новации лежит усовершенствованный метод математического моделирования с использованием так называемых блочных элементов, мы попросили ученого рассказать о методе подробнее, но, если можно, без формул.
— Он создан сотрудниками Кубанского госуниверситета и Южного научного центра РАН более 10 лет назад на основе математики высокого уровня. Именно поэтому наблюдаются пока лишь робкие попытки его использования за рубежом, если судить по научным публикациям, — сообщил Владимир Андреевич.
— А разница «блоков» с традиционными методами моделирования — существенная. Возьму для примера численные модели, использование которых требует решать на компьютере системы дифференциальных уравнений в частных производных.
Разработаны различные приближенные методы таких решений: сеточные, конечного элемента, граничного элемента и др. Они дают много полезного для разных областей промышленности и экономики.
В то же время эти методы зачастую не позволяют вскрывать тонкие свойства моделей. Дело в том, что уже на начальном этапе в дифференциальные уравнения вносятся априорные ошибки: производные заменяются конечными разностями, многомерная среда — стержнями. Априорные погрешности в процессе многократных вычислений складываются и в итоге приводят к погрешностям, упущениям в решениях.
— Блочные элементы позволяют этих погрешностей избежать?
— Именно так. Их главная особенность — это точное удовлетворение, без каких-либо упрощений, дифференциальным уравнениям. В результате нами были обнаружены некоторые ранее неизвестные явления и закономерности, пропущенные компьютерными моделями. Среди них оказались и стартовые землетрясения!
Уместно сказать, что блочные элементы позволяют получить, по сути, теорию, в отличие от набора кривых при численном моделировании. И как тут не вспомнить высказывание выдающегося академика И.В.Курчатова: «Нет ничего практичнее хорошей теории».
Фактически моделирование блочным элементом можно назвать производством средств производства в нашем научном направлении. С помощью этих «кирпичиков» можно более точно решать дифференциальные и интегральные уравнения, причем даже те из них, с которыми не получается справиться другими методами.
Эффективность метода блочного элемента показана нами при обнаружении стартовых землетрясений — пока единственных, которые можно прогнозировать. Кстати, благодаря проекту Кубанского научного фонда, отреагировавшего на критику в газете «Поиск» и поддержавшего проект, доказано существование еще одного предвестника землетрясений, восходящего к резонансам, академика Иосифа Израилевича Воровича. О них специалисты заговаривали еще в 1979 году.
— Столько времени прошло, прежде чем исследование получило возможность прикладного применения! О каких резонансах идет речь?
— Сейчас Япония страдает от землетрясений, связанных с усталостным состоянием субдукционных литосферных плит. Они находятся в ежедневном колебании, побуждаемом приливными процессами.
Метод блочного элемента позволил построить теорию по проблеме, связанной с возникновением резонансных явлений в литосферных плитах. Академик Ворович — он был моим учителем — предсказал их существование почти полвека тому назад.
Для некоторых форм литосферных плит удалось построить уравнения, содержащие резонансные частоты, они играют роль еще одного предвестника землетрясений. Известно, что резонансы локально раскачивают зоны литосферных плит, содействуя их разрушению.
Я до сих пор благодарен Иосифу Израилевичу, ведь именно под его влиянием сформировалась сфера моих интересов. Она вошла в незанятую отечественными учеными-механиками область «механика природных процессов», которой агитировал меня заниматься директор Института физики Земли АН СССР академик Михаил Александрович Садовский. Эта область интересна и тем, что в ней проводил исследования наш выдающийся ученый, нобелевский лауреат академик Леонид Витальевич Канторович.
Метод блочного элемента применим и во многих других направлениях. Это проблемы прочности и разрушения, трещины и включения, распространение волн в упругих телах, акустика, неразрушающие методы контроля, теория рассеивания электромагнитных волн и создание элементной базы электроники, теория волн в жидкости и многое другое.
Приведу лишь один пример. При выполнении проектов Российского научного фонда с использованием нового математического метода были получены новые результаты, недоступные ранее. В частности, впервые удалось развить теорию решения контактных задач линейной упругости с деформируемыми штампами, однотипно построить уравнения трещин нового типа и Гриффитса.
Также уточнена теория Гриффитса с помощью трещин нового типа до ее совпадения с экспериментом. Построена и реализована механическая концепция самоорганизации и самосборки наноматериалов. А впереди нас ждут новые приложения метода блочного элемента в самых различных областях.
— Насколько близко, в принципе, математическое моделирование может подойти к описанию и, возможно, воссозданию в виртуальном пространстве таких природных процессов, как изменения погоды, землетрясения, извержения вулканов и т. д.?
— Для ответа на этот вопрос следует пояснить, какое место занимает математическое моделирование в понятии «моделирование» в целом. Все модели служат целям описания реального мира или отдельных его сторон для познания и оптимального применения.
На практике приняты и строятся материальные и абстрактные модели. Первые делятся на статические и динамические. Примером статической модели является застройка территории, выполненная для предварительного обозрения архитектором в масштабе детских кубиков. Динамическая — это модель, которая имитирует в малом масштабе процессы, протекающие во времени.
Например, перед строительством гидроэлектростанции во Всероссийском НИИ гидротехники им. Б.Е.Веденеева в Санкт-Петербурге воссоздают в огромном зале, но в малом масштабе участок предстоящего строительства — вместе с будущими дамбами, с учетом рельефа. И затем организуют водный поток, заполняющий площадь водохранилища в модели и удерживаемый дамбами с нужным напором и сбросом воды.
А вот абстрактных моделей гораздо больше. Они описывают реальный мир цифрами, математическими выражениями, нотными знаками, буквами, символами и другими абстрактными средствами.
Среди них особое место занимает математическое моделирование, использующее математическую символику. Оно делится на компьютерное и аналитическое. Правда, четкую грань между этими моделями провести крайне сложно. Да и степень приближенности математического моделирования к реальным событиям в физическом мире в каждом случае разная.
В математике, физике и механике хорошо известно: дифференциальные уравнения отражают те или иные природные или техногенные процессы с какой-то погрешностью, в зависимости от практических требований к рассматриваемой задаче.
Например, если рассматриваются относительно медленно протекающие процессы, то модель движения массивной точки описывается уравнением закона Ньютона, хорошо известного из школьного курса.
Однако при переходе к скоростям, сопоставимым со скоростью света, нужны уравнения теории относительности. При рассмотрении процессов в глубоководных зонах используются уравнения Навье — Стокса, при изучении зон с тонким покрытием жидкостью подходят уравнения мелкой воды.
При исследовании квантовых процессов, не связанных с ролью спинов, применяются уравнения Шредингера. При разработке квантовых компьютеров — уравнения Дирака.
Когда выбраны те или иные практические требования и исследователь остановился на необходимом типе уравнений, встает вопрос их решения. Решать можно численным методом, существующими программами, и тогда нагрузка ложится на компьютер.
А можно решать задачу методом блочного элемента, при этом нагрузка ложится на исследователя. Первый подход априори имеет погрешность, второй точно решает уравнения.
— Можно ли говорить о том, что метод блочного элемента — это новое слово в математике?
— Да, мы ввели этот термин, чтобы дистанцироваться от других подходов, если возникнет угроза плагиата. К сожалению, так нередко бывает.
Поскольку метод блочного элемента решает точные уравнения (как дифференциальные, так и некоторые интегральные), не искажая их, естественно, он более точен и позволяет обнаруживать в решениях свойства, которые не совсем полно дают численные методы.
Уверен, что у этого метода большие перспективы. Он может быть применен, в частности, в развитии сейсмологии, где отсутствует теория сейсмичности в горных районах. Он пригодится в инженерной практике, где пока нет строгой математической теории смешанных и контактных задач для композитов, анизотропных сред и интеллектуальных материалов. Этот метод применим и в квантовой механике, при математическом описании элементной базы квантовых компьютеров, за которыми будущее.
Геннадий Белоцерковский
Нет комментариев