Концепции естествознания, в основном выдвинутые в XX веке, составляют фундамент современных взглядов на природу и человека в целом, а язык естествознания — во многом язык математики. В 2021 году Российский научный фонд объявил конкурс по мероприятию «Проведение исследований научными лабораториями мирового уровня в рамках реализации приоритетов научно-технологического развития Российской Федерации» Президентской программы исследовательских проектов. Грант на проведение исследований по теме «Нелинейная динамика: регулярные, сингулярные и численно-аналитические методы исследования распределенных систем» (21-71-30011) выиграл коллектив из Ярославского государственного университета им. П.Г.Демидова. Руководит исполнителями проекта первый проректор ЯрГУ, доктор физико-математических наук Сергей КАЩЕНКО.
— Сергей Александрович, кому будут нужны результаты вашего проекта?
— Их можно будет использовать при решении фундаментальных и прикладных задач лазерной физики, биофизики, синергетики и др.
— Что сделано за прошедший год?
— В 2022-м мы занимались исследованием уравнений и динамических систем, применяемых для моделирования различных физических и биологических процессов, а также разработкой алгебраических и геометрических методов в этих областях. Одной из ключевых идей наших работ являются рассмотрение так называемых «интегрируемых» уравнений и динамических систем, построение квазинормальных форм для описания динамики в критических случаях.
В частности, изучали свойства решений интегрируемых систем типа Лотки — Вольтерры, которые дают хорошие описания взаимодействий популяций в биологии. Также рассматривали явление сверхпередачи (внезапный выброс энергии) в цепочках одномерных осцилляторов (систем, совершающих колебания) — это важно для предсказания поведения различных материалов при высоких энергиях. Еще мы разработали новые методы построения решений уравнения Янга — Бакстера и уравнения тетраэдров Замолодчикова, которые относятся к числу наиболее фундаментальных в математической физике и применяются при описании квантовых явлений в статистической механике, дискретной математике и алгебраической топологии, используемых для изучения качественных свойств сложных геометрических фигур.
— Что даст решение физиками этих задач другим областям науки и производству?
— Полученные результаты включают построение новых решений и инвариантов (законов сохранения) для указанных уравнений и систем. Результаты опубликованы в ведущих мировых научных журналах и обсуждались на международных научных конференциях и семинарах как в России, так и за рубежом.
В 2022-2023 годах мы планируем разработать новые методы решения непрерывных и дискретных систем уравнений, применяемых для объяснения динамики моделей, используемых в актуальных задачах физики, биологии и машиностроения. Для проверки теоретических результатов проводятся численные эксперименты на высокопроизводительных компьютерах, включая суперкомпьютеры.
— А можно конкретнее?
— В области фундаментальных исследований перспективны результаты, хотя и недавние, но опирающиеся на многолетние исследования некоторых участников гранта, позволяющие создать быстрые аналитико-численные расчеты распространения и набега на берег длинных океанических волн — цунами. Оперативная реакция на природные катаклизмы требует быстроты расчета. У нас она основана, во-первых, на соединении аналитических и численных подходов, связанных с решением обыкновенных систем уравнений, а не уравнений с частными производными. И, во-вторых, с локализацией расчетов траекторий: для описания набега волны на берег нужны построения только тех траекторий, которые приходят в определенный участок территории из заданного участка океана, где волна цунами возбуждается. В перспективе (возможно, не очень близкой) такие алгоритмы могут быть использованы в системах прогнозирования волн цунами и быстрого предупреждения их последствий. В любом случае они смогут применяться при тестировании систем прогнозирования, основанных на прямых численных расчетах.
По словам Сергея Кащенко, задача о набеге на берег волн очень старая, она относится к так называемым задачам со свободной границей. Амплитуда длинных волн (типа волн цунами), как правило, довольно мала, поэтому нелинейные эффекты начинают проявляться лишь в окрестностях берега. Не учитывать их невозможно, поскольку именно они описывают силу заплеска волн на берег, и именно для описания этих эффектов необходимо рассматривать задачи со свободной границей, причем в двумерном случае. В одномерном и специальном случаях для плоского наклонного дна довольно давно Карриер и Гринспан показали, что задача о набеге волн на берег сводится к решению линейного волнового уравнения (с обращающейся в ноль скоростью).
— Решение этой специальной (нелинейной) задачи можно восстановить по вектору решения линейной, состоящего из двух функций, описывающих возмущенную поверхность и скорость движения жидкости, — пояснил Сергей Александрович. — Это наблюдение (использованное ранее в работах по волнам цунами в специальных случаях) участниками проекта было существенно модифицировано уже для значительно более общих ситуаций — для двумерных задач с кривой береговой линией и неровным дном. Если говорить проще, сначала нужно решить задачу в линейном приближении (на что опирается вычисление семейств некоторых подходящих траекторий), а затем с помощью простого алгоритма, легко и быстро реализуемого путем компьютерных вычислений, — восстановить решение нелинейной задачи по решению линейной. Отмечу, что аналитико-численные алгоритм вычисления нужных траекторий непростая задача, возникающая не только в теории волн на воде и требующая решения вспомогательных задач. Кроме того, необходимо разрабатывать и использовать различные оптимизационные методы. В целом работа, связанная с указанным направлением волн цунами, состоит в объединении и практической реализации аналитических и вычислительных методов в виде комплекса программ.
— Сегодня, как никогда, нужно научное оборудование, особенно для точных исследований. Какова с ним ситуация у вас?
— Основным оборудованием, используемым нами в ходе работы над проектом, являются высокопроизводительные вычислительные системы, которые позволяют сильно ускорить проведение экспериментов. Проект позволил нам существенно улучшить возможности имевшихся в нашем распоряжении систем для проведения распределенных вычислений. Так что на текущем этапе проекта трудностей, связанных с оборудованием, у нас нет.
— Не бывает специалиста без хорошего образования…
— Трудно не согласиться с таким утверждением, — улыбается Сергей Александрович. — Результаты научного проекта, осуществляемого в рамках гранта Российского научного фонда, активно используются и в образовательном процессе. Проект реализуется в Региональном научно-образовательном математическом центре «Центр интегрируемых систем» (ЯрГУ), который является своего рода мостом между научной и образовательной сферами деятельности. Стоит отметить, что новые научные результаты ложатся здесь на благодатную почву.
Сотрудники центра не только ведут научную работу в рамках гранта РНФ, но и активно вовлечены в подготовку подрастающего поколения будущих ученых. Много времени уделяется математическому обучению школьников и студентов. Центр поддерживает работу 27 кружков по математике и информатике для 300 школьников из Ярославской области, в том числе в школах Ярославской области, находящихся в удаленных от регионального центра районах.
На базе центра разработана новая углубленная образовательная программа по математике и информатике под названием «ПМИ+». Желающие обучаться по этой программе отбираются на конкурсной основе из числа абитуриентов математического факультета, поступивших на направление бакалавриата «Прикладная математика и информатика». Существенное внимание при отборе студентов в эту группу отводится не столько профессиональным знаниям и навыкам, сколько мотивационным характеристикам ребят, желающих обучаться в этой группе.
Программа строится по образцу ведущих образовательных центров, сохраняя при этом традиции российского математического образования, по модульному принципу, включая обязательные курсы (Major) и факультативные курсы, сгруппированные в пулы и рекомендованные в зависимости от специализации. Программа Major включает современные курсы мирового уровня по алгебре, геометрии, дискретной математике, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, нелинейной динамике. Перечень спецкурсов покрывает широкое поле: от передовых сюжетов фундаментальной и прикладной математики, математической физики до современных прикладных разделов по искусственному интеллекту и машинному обучению. К преподаванию привлечены сотрудники ведущих российских вузов (МГУ, НИУ ВШЭ). Образование использует современную технологическую базу, часть занятий проводится на онлайн-платформе, учебный процесс имеет онлайн-сопровождение: доступ к учебным материалам, конспектам, видеозаписям лекций. Образовательный процесс строится на концепции индивидуальной траектории. Большое внимание уделяется также получению обратной связи от студентов, обучающихся в группе «ПМИ+». Ребята оценивают преподавателей, которые ведут у них занятия, и делятся своими предложениями о том, как можно было бы улучшить эту образовательную программу.
Программа «ПМИ+» идет в ЯрГУ всего третий год, но уже заметны ее результаты. Студенты, обучающиеся в этой специальной группе, становятся победителями многочисленных олимпиад и научных конкурсов. Большинство ребят получает повышенную стипендию и всерьез задумывается над тем, чтобы выбрать научную карьеру. Поскольку при реализации программы «ПМИ+» много времени отводится и получению практических навыков, в том числе в сфере информационных технологий, ребята добиваются успехов, в частности, в спортивном программировании, и в будущем видят себя успешными IT-специалистами. Эта программа дает им возможность в максимальной степени раскрыть свои интеллектуальные способности.
Поскольку в группу «ПМИ+» отбираются ребята со схожими интересами и мотивационными установками, они становятся одной дружной командой, способной действовать не столько ради достижения личного успеха, сколько ради решения общей задачи. Это важное обстоятельство позволяет уверено утверждать, что образовательный проект «ПМИ+» обязательно будет оставаться востребованным и в ближайшем будущем.
Работа над научным проектом РНФ «Нелинейная динамика: регулярные, сингулярные и численно-аналитические методы исследования распределенных систем» ставит перед его исполнителями множество новых задач. И это не только новые научные вызовы, но также и задачи по развитию математических компетенций. Здесь мы говорим не только о школьниках, студентах и молодых ученых, но также и о повышении квалификации в области математики у педагогов образовательных учреждений Ярославской области. В этом направлении сотрудниками центра уже ведется большая работа, и еще больше предстоит сделать в краткосрочной перспективе.
Прошлым летом в соответствии с планом работ мы провели научную школу «Нелинейные дни» в Ярославском государственном университете, в работе которой приняли участие больше 100 студентов и ученых из России, а также из Великобритании, Италии, Греции, США, ЮАР, Израиля, Казахстана, Бенина, Республики Корея и Словакии. Я и мои коллеги по гранту выступили с докладами, посвященными широкому кругу тем по проекту РНФ 21-71-30011, включая прикладные, такие как исследование устойчивости подвесных пешеходных мостов. Говорили и на более абстрактные темы, например, как применить алгебро-геометрические конструкции в решении уравнения тетраэдров Замолодчикова. Кроме того, некоторые молодые участники школы (в том числе студенты и аспиранты) имели возможность представить свои научные результаты на конференции.
— Грант большой, исследования, очевидно, мультидисциплинарные. С какими научными организациями и вузами страны сотрудничаете?
— Калининградский филиал Института земного магнетизма, ноосферы и распространения радиоволн им. Н.В.Пушкова, Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН, РУДН и др. Надеюсь, вместе мы продолжим исследования, полезные как для фундаментальной науки, так и для практического применения в народном хозяйстве, а РНФ не оставит нашу работу без внимания и в будущем.
Подготовил Андрей СУББОТИН
Нет комментариев