Знаете ли вы, дорогой читатель, что такие математические понятия, как “производные” и “интегралы”, могут быть дробными? Подозреваем, что многих этот вопрос ввел в ступор. Мало того, что сами термины едва брезжат в памяти со школьных лет, так еще предлагается представить их в каком-то другом виде. Так вот знайте: есть люди, которые могут не только представить это, но и решают с помощью “дробного интегро-дифференцирования” сложнейшие задачи математического моделирования. О том, как и для чего это делается, нашему корреспонденту рассказал доцент кафедры вычислительной математики Кабардино-Балкарского государственного университета им. Х.М.Бербекова кандидат физико-математических наук Анатолий АЛИХАНОВ. Кроме этого, молодой ученый возглавляет расположенный в Нальчике Институт прикладной математики и автоматизации. Он же — руководитель группы, которая ведет исследования по проекту, поддержанному грантом Президента РФ.
— При математической формулировке многих естественно-научных и технических задач возникают краевые задачи для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, — объясняет трудно усваиваемую проблему Анатолий Алиевич. — К уравнениям в частных производных приводят задачи теплопроводности, газодинамики, теории упругости, квантовой механики и многие другие. В физических задачах независимые переменные — это обычно время и пространственные координаты. Полная математическая постановка задачи содержит дифференциальное уравнение и дополнительные условия, которые позволяют выделить единственное из бесчисленного множества решений. Обычно его ищут в заданной пространственной области и на некотором отрезке времени. В этом случае дополнительные условия, заданные в начальный момент времени, называют начальными, а заданные на границе пространственной области — граничными или краевыми. Задача с начальными и граничными условиями называется нестационарной краевой задачей.
— Для чего введено понятие дробной производной или дробного интеграла? Какие задачи можно решать с их помощью?
— Понятия дробного дифференцирования и интегрирования обычно связывают с именем Лиувилля, но, на самом деле, еще творцы дифференциального и интегрального исчисления задумывались над производными не только целого, но и дробного порядка. Такие ученые, как Лиувилль, Абель, Риман, Летников, Вейль, Адамар, оказали существенное влияние на развитие дробного интегро-дифференцирования, ставшего теперь целым направлением в математическом анализе.
Дифференциальные уравнения дробного порядка возникают при изучении физических процессов стохастического переноса, при использовании концепции фрактала в физике конденсированных сред.
Перенос вредных примесей в пористых средах не обладает экспоненциальной скоростью затухания концентрации на больших расстояниях от источников загрязнения. Этот факт заставляет пересмотреть математические модели загрязнения окружающей среды, опирающиеся на уравнение классической диффузии. Перенос в пористых средах хорошо описывается с помощью уравнения диффузии дробного порядка. Например, сейчас широко проводятся очень важные исследования протекания влаги и переноса примеси в сильно-неоднородных геологических структурах. Особую значимость такие работы приобрели в связи с разработкой проектов площадок для захоронения радиоактивных отходов.
Дифференциальные уравнения в частных производных дробного порядка возникают также при математическом моделировании формирования микроструктуры облаков в естественных условиях и при активном взаимодействии в сложных физических процессах. Но пока нет моделей, которые позволяли бы точно описывать процессы в конвективных облаках.
В настоящее время в разных странах реализуют ряд научно-исследовательских проектов по искусственному увеличению осадков. В решении проблемы оптимизации способа воздействия на конвективные облака приоритет остается за численным моделированием с привлечением дифференциальных уравнений дробного порядка.
— Когда вы впервые услышали о дробных производных и когда начали заниматься численными методами решения уравнений дробного порядка?
— О том, что в нашем университете ведутся исследования дробных производных, я узнал, учась на втором курсе. Тогда мне сложно было понять, что означает, например, производная порядка 1/2. Читателям, которые не занимаются математикой, также непросто понять, что это такое. Поэтому я попытаюсь объяснить на таком простом примере. Представим, что мы хотим собрать какую-то конструкцию. Для этого нам нужны болты и гайки разных размеров, а также гаечные ключи к ним. Если размеры ключей и гаек совпадают, то конструкцию можно собрать полностью. Если же размеры разные, то собрать конструкцию полностью не получится. Но если мы заполучим универсальный разводной гаечный ключ, то соберем конструкцию независимо от размеров болтов и гаек. Так вот, обычные гаечные ключи можно сравнить с производными целого порядка, а разводной гаечный ключ — с дробной производной. Разводной гаечный ключ можно подстроить под размеры любых гаечных ключей. Соответственно: когда порядок дробной производной — целое число, получается производная целого порядка. Дробные производные — хороший математический инструмент для описания различных физических процессов, протекающих в пористых средах.
Заниматься численными методами для уравнений дробного порядка я начал, когда учился в магистратуре по направлению “Прикладная математика и информатика” Кабардино-Балкарского государственного университета. Мне повезло, что моим научным руководителем стал заведующий кафедрой вычислительной математики профессор Мухамед Хабалович Шхануков-Лафишев. Он определил тему моей магистерской диссертации: численные методы для уравнений дробного порядка. Кандидатскую диссертацию по той же теме я также выполнил под его руководством и успешно защитил на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова. С абсолютной уверенностью могу сказать, что все мои результаты — это заслуга моего руководителя и наставника Мухамеда Хабаловича. Я искренне благодарен ему.
— Как вы работаете с уравнениями дробного порядка?
— Одна из особенностей подобных уравнений — так называемый эффект памяти. Чтобы решить задачу для какого-то момента времени, нам необходимо владеть информацией обо всех предыдущих решениях. Такая особенность делает численное решение уравнений с дробными производными достаточно ресурсоемкой задачей, даже в одномерном случае. А при переходе к двух- или трехмерным задачам сложность численных расчетов сильно возрастает. Построение эффективных численных методов повышенного порядка точности значительно упростит проблему, это очень востребованная задача.
Мы разрабатываем эффективные алгоритмы с повышенной скоростью сходимости — для решения уравнений, содержащих производные дробного порядка. Нам удалось разработать метод энергетических неравенств для уравнений дробного порядка. Этот метод позволяет ответить на важные вопросы: единственно ли решение задачи? будет ли оно устойчивым? какую погрешность создадут численные расчеты?
Все эти результаты были получены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований. Благодаря гранту я также участвовал в международной конференции в Испании. Эта конференция дала толчок моим дальнейшим исследованиям.
В январе 2015 года вышла моя статья в Journal of Computational Physics с изложением открытия точек “суперсходимости”. Эти точки непосредственно связаны с порядком дробной производной. Если приближенные вычисления дробной производной проводить в указанных точках, то удается добиться высокого порядка точности. Мы провели многочисленные расчеты, подтвердившие эффективность предложенных алгоритмов по сравнению с другими аналогами.
Многие зарубежные исследователи стали использовать мою методику численного решения уравнений дробного порядка. Благодаря этому я стал рецензентом ряда высокорейтинговых иностранных журналов: Journal of Computational Physics, Applied Mathematics and Computation, Journal of Computational and Applied Mathematics, Fractional Calculus and Applied Analysis, Numerical Methods for Partial Differential Equations.
Конечно, нам многое еще предстоит сделать. В ближайшей перспективе планируем построить алгоритм, обладающий устойчивостью и повышенной скоростью сходимости. Это нужно для решения уравнений дискретно-распределенного порядка, в которых содержатся дробные производные разных порядков от искомой функции. Сегодня в этом направлении интенсивно работают и наши китайские коллеги.
К слову, исследователи из Китая на одном из лидирующих мест в мире среди занимающихся численными методами решения уравнений дробного порядка. Сейчас, когда мы ведем беседу, идет заключительный этап подготовки поддержанной РФФИ Международной российско-китайской конференции “Актуальные проблемы прикладной математики и физики”. Я председатель оргкомитета этой встречи ученых, которая пройдет в Приэльбрусье на базе отдыха КБГУ. В повестке дня вопросы, связанные с применением дробных производных, и методы решения уравнений дробного порядка.
— Расскажите немного о вашем коллективе, который работает по проекту, отмеченному грантом.
— С удовольствием представляю моих коллег. Студентка второго года обучения магистратуры Инна Кодзокова. Благодаря гранту Президента РФ она получила возможность участвовать в различных всероссийских конференциях, где узнала о многих научных фактах, обрела новые знания. Про себя она говорит, что стала более серьезной и ответственной, ведь на нее приходится немалая часть проекта. Сейчас девушка занимается подготовкой статьи для публикации в зарубежном реферируемом журнале.
Студентка первого года обучения магистратуры Асият Хагажеева. По ее словам, грант, прежде всего, дал ей возможность развиваться и работать. Для студентов это бесценный опыт и возможность участвовать на конференциях.
Студентка первого года обучения Асият Гасиева. Благодаря гранту она смогла услышать доклады известных ученых в области вычислительной математики. Сейчас она сама готовит материалы для доклада на международной конференции.
Фирюза ЯНЧИЛИНА
Фото предоставлено А.Алихановым
Нет комментариев