Пафнутий Львович Чебышёв — создатель крупнейшей дореволюционной математической школы в России — был автором более чем семидесяти научных работ и публикаций, посвященных теории приближений, теории вероятностей, теории чисел, теории механизмов, а также многим проблемам математического анализа и прикладной математики. Множество трудов написал Чебышёв и о своих механических изобретениях, среди которых, например, первый автоматический арифмометр. Среди других областей, в которые Чебышёв внес свой вклад — картография, вычисление геометрических объемов, теория шахматной игры и многие другие.
Биография Пафнутия Чебышёва
Будущий математик родился 16 мая 1821 года в Калужской губернии, неподалеку от старинного города Боровска, в большом семействе дворянина Льва Павловича Чебышёва. Именно на таком написании, через букву ё, настаивал всегда сам ученый.
Как и его четыре брата и четыре сестры, Пафнутий получал домашнее образование, причем все дети в семье Чебышёвых проявляли интерес к знаниям. Братья будущего математика увлеклись военным делом и впоследствии прославились на этом поприще. Так, например, Владимир Чебышёв (1831-1905) стал известным ученым-артиллеристом, был заслуженным профессором и почетным членом Конференции Михайловской военной артиллерийской академии, написал более 70 работ по оружейному делу.
Маленький Пафнутий тоже увлекался оружием и даже что-то конструировал сам. Любил часами разбирать и собирать механические игрушки, особенно ружья. Эту страсть к механике Чебышёв сохранил на всю жизнь. И именно стремление разобраться в принципах работы всевозможных механизмов и описать их с помощью формул привело его к увлечению математикой. Став известным ученым, Чебышёв не раз говорил своим коллегам и студентам, что математика только тогда полезна, когда служит естественным наукам и техническому прогрессу.
Тяга детей к знаниям убедила отца семейства Чебышёвых переехать в 1832 году в Москву, где они могли получить хорошее образование. Пафнутия стал на дому обучать точным наукам известный педагог-математик того времени Платон Погорельский (1800-1852), латынь же ему преподавал Алексей Тарасенков (прим. ред.: тогда скромный студент-медик, впоследствии ставший главным врачом Шереметевской больницы). Занятия с талантливыми педагогами позволили Чебышёву спустя пять лет легко поступить на физико-математическое отделение философского факультета Московского университета. Будучи его студентом, Пафнутий Чебышёв не раз получал награды за новаторские подходы к решению математических задач на университетских конкурсах. Также во время обучения в Московском университете Чебышёв много общался со своим преподавателем, известным математиком и механиком Николаем Дмитриевичем Брашманом от которого заразился любовью к прикладной математике, которую затем всю жизнь считал важнейшей наукой.
Образование и научная карьера Пафнутия Чебышёва
Несмотря на то, что отец Чебышёва был довольно состоятельным землевладельцем, в 1841 году он был вынужден прекратить финансирование научных занятий Пафнутия: голод, наступивший в тот год во многих российских губерниях, сильно ударил по материальному положению семьи. Произошло это как раз тогда, когда сын закончил обучение в университете. Тем не менее, трудности не смогли остановить стремящегося к новым открытиям молодого ученого, и Пафнутий Чебышёв продолжил самозабвенно заниматься научными изысканиями, углубляясь в математику и механику. За следующие восемь лет он стремительно прошел путь от студенческой скамьи до преподавательской кафедры.
- Окончание университета и степень «кандидат университета». В 1841 году, завершив обучение на физико-математическом отделении философского факультета Московского университета, Чебышёв получил ученую степень кандидата университета (прим.ред.: низшая из трех ученых степеней того времени, существовала в Российский Империи с 1803 по 1884 год).
- Защита первой диссертации и степень «магистр». Следующую ученую степень Чебышёв получил в 1846 году после защиты диссертации на тему, относящуюся к области теории вероятностей. Через год 26-летний ученый, покинув Москву, перебрался в Санкт-Петербург и получил место адъюнкт-профессора в Императорском университете. Кстати, именно Пафнутий Чебышёв был одним из авторов устава Петербургского университета, принятого в 1863 году. Итоговый документ дал вузу автономный статус.
- Защита второй диссертации и право преподавать все разделы математики. Защита второй диссертации (прим.ред.: давала возможность получать должность профессора, но не степень «доктор наук») в 1849 году дала Пафнутию Чебышёву право читать лекции по множеству математических дисциплин, включая курс теории вероятностей. Над ним Чебышёв изрядно потрудился, чтобы превратить эту дисциплину в чисто математическую. Он исключил оттуда сомнительные постулаты, размытые формулировки и лишь после этого счел курс пригодным для преподавания в университете.
- Защита докторской диссертации. В 1849 году Чебышёв защитил докторскую диссертацию, которая была посвящена теории чисел, и получил степень доктора.
Последующие научные достижения Чебышёва стали поводом для избрания в 1853 году Пафнутия Львовича адъюнктом (прим.ред.: помощник академика, должность в Петербургской академии наук, существовавшая до 1863 года). В 1856 году он стал экстраординарным, а в 1858 году ординарным академиком Императорской Академии наук. Спустя несколько месяцев ученый получил звание почетного члена Московского университета. В 1852–1858 годах одновременно с преподаванием в Петербургском университете Чебышёв также вел практические занятия по механике в Императорском лицее.
Пафнутий Чебышёв постоянно стремился расширять круг своего научного общения, а также знакомить с достижениями российской научной мысли зарубежных коллег. Путешествуя в начале 1850-х годов по Европе, Чебышёв знакомился с научными и техническими достижениями европейцев, общаясь с лучшими представителями научной мысли того времени: известными французскими математиками Огюстеном Коши, Жозефом Лиувиллем, Жозефом Серре, Шарлем Эрмитом, французским физиком и механиком Леоном Фуко, представителями английской математической науки — Джеймсом Сильвестром, Артуром Кэли.
Будучи талантливым педагогом и лектором, Пафнутий Львович вырастил целую плеяду ученых, чьи имена впоследствии вошли в историю российской математической науки. В их числе Александр Ляпунов, Константин Поссе, Андрей Марков, Дмитрий Граве. На сайте Математического генеалогического проекта (прим.ред.: реализуется под эгидой Американского математического общества) согласно текущей онлайн-базе данных, у Пафнутия Чебышёва 7 учеников и 18197 математических потомков.
В 1882 году ученый оставил преподавательскую деятельность ради научных исследований. В 1893 году Пафнутий Чебышёв стал почетным членом Санкт-Петербургского математического общества.
Заслуги гениального русского математика и механика признавались научными сообществами во всем мире — он состоял еще в десятках зарубежных академий, в том числе Берлинской, Болонской, Парижской, Шведской.
Основные открытия Пафнутия Чебышёва
- Неравенство Чебышёва — математический объект в теории вероятностей, сформулированный и опубликованный Чебышёвым в 1867 году в статье «О средних величинах»
- Закон больших чисел. Чебышёв дал самую общую формулировку математического закона, согласно которой среднее значение результатов, полученных из большого количества независимых случайных выборок, стремится к истинному значению показателей при многократном повторении опыта.
- Полиномы Чебышёва (1857 год) — это математические выражения (многочлены), которые применяются для решения множества математических и прикладных задач, в том числе в численных методах для построения точных графиков, интегрирования функций, моделирования физических процессов, в компьютерной графике для сглаживания кривых и поверхностей, чтобы изображения были более реалистичными, в фильтрах при цифровой обработке аудио- и видеосигналов, чтобы убрать шумы и искажения. С работы Чебышёва над полиномами началась история теории приближений, или аппроксимации.
- Механизм Чебышёва, или рычаг Чебышёва представляет собой четырехзвенный механизм, преобразующий вращательное движение в приближенное линейное движение. Впервые рычажный механизм был представлен в Париже на Всемирной выставке в 1878 году. Это изобретение Пафнутия Львовича по сей день применяется в подъемных кранах с изменяемым вылетом стрелы (прим.ред.: это кран, в котором крюк остается на одном уровне при изменении вылета стрелы).
Вклад Пафнутия Чебышёва в теорию вероятностей
Благодаря усилиям Чебышёва теория вероятностей вышла за рамки прикладных задач и утвердилась в качестве фундаментального раздела математики. Разработанные им принципы строгого анализа случайных процессов стали основой для дальнейших исследований и задали долгосрочные ориентиры развития этой научной области. Отдельно стоит описать две отправные точки, с которых, по сути, началась история теории вероятностей как самостоятельного большого раздела математики.
- Неравенство Чебышёва. Неравенство Чебышёва в теории вероятностей характеризует разброс данных относительно их среднего значения. Неравенство устанавливает верхнюю границу вероятности того, что наблюдение будет далеко от своего среднего значения. Согласно неравенству Чебышёва, вероятность того, что значение будет более чем на два стандартных отклонения от среднего, не может превышать 25%.
Математики нередко говорят, что само по себе неравенство Чебышёва не имеет практического применения и не показывает ничего, кроме очевидных вещей, как, например, то, что вероятность события не может являться отрицательной величиной. Однако ученые утверждают, что неравенство играет важнейшую роль в доказательстве теоремы Чебышёва, на которую опирается теория больших чисел.
- Закон больших чисел гласит, что при наличии выборки независимых и одинаково распределенных значений выборочное среднее стремится к истинному среднему. Например, хотя казино может потерять деньги за один оборот колеса рулетки, его прибыль будет стремиться к предсказуемому проценту при большом количестве вращений. Этот закон совершенствовали на протяжении всей истории математики. До Чебышёва описывали закон больших чисел для частных случаев Якоб Бернулли (1655-1705), Симеон Пуассон (1781-1840). Однако нашему гениальному соотечественнику удалось, опираясь на неравенство, названное его именем, сформулировать закон в наиболее общем виде. Закон больших чисел важен, потому что он гарантирует стабильные долгосрочные результаты для средних значений некоторых случайных событий. Сегодня он используется во многих областях, включая статистику, теорию вероятностей, экономику, страхование, теорию игр.
Работы Пафнутия Чебышёва в математическом анализе
Математический анализ — основная область научных интересов Чебышёва, именно ей посвящено большинство его трудов.
В диссертации 1847 года, обеспечивающей право преподавания, он рассматривал проблему интегрируемости иррациональных выражений посредством алгебраических функций и логарифмов. А в 1853 году Чебышёв доказал теорему, демонстрирующую, при каких условиях можно найти интеграл от так называемого дифференциального бинома с помощью элементарных функций. Но, пожалуй, самые известные работы Чебышёва в матанализе те, что получили его имя.
- Полиномы Чебышёва — одна из важнейших работ Чебышёва в математическом анализе. Это две последовательности ортогональных многочленов (прим.ред.: последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов), обладающие определенными уникальными свойствами, применяемые в численном анализе. На них построена теория аппроксимации, или теория приближений.
- Теория приближений Чебышёва. Согласно теории приближений, исходя из определенного количества известных значений функции, строится аппроксимирующая функция, максимально приближенная к исходной на определенном отрезке. Применив для аппроксимации функций полиномы, названные впоследствии в его честь, Чебышёв добился гораздо более высокой точности приближения к исходной функции, чем в методах, используемых ранее. И эта теория также получила имя российского ученого.
Механика и инженерные разработки Пафнутия Чебышёва
В начале 1850-х годов Чебышёв много ездил по Европе, интересуясь успехами зарубежной промышленности. Посещал заводы, фабрики, а также различные музеи с коллекциями старинных механизмов, встречался в поездках с известными европейскими учеными и инженерами того времени. Накопленные знания Чебышёв использовал, преподавая практическую механику в Петербургском университете.
Во второй половине XIX века российское машиностроение активно развивалось, стране требовалось все больше квалифицированных технических специалистов. Высшая школа столкнулась с необходимостью резко увеличить выпуск инженеров-машиностроителей. Весной 1876 года для доработки университетского устава Петербургского университета создали четыре специальные комиссии. Чебышёв вошел в одну из них, занимавшуюся вопросами подготовки естественно-научных и инженерных кадров. На тот момент весьма активно высказывались предложения готовить инженеров в рамках существующих физико-математических факультетов. Однако Чебышёв решительно отвергал эту идею. Ученый считал, что подход должен быть иным: университеты нужно оставить для подготовки специалистов в области фундаментальных наук — математики, физики и т. д., а подготовку инженеров следует сосредоточить в отдельных высших технических учебных заведениях, где можно обеспечить узкопрофильную и практическую подготовку. В итоге российская система высшего образования пошла именно по этому пути: в стране начали активно создавать разнообразные технические вузы. Такой подход подтвердил свою эффективность и стал основой развития инженерного образования в России.
В области механики Чебышёва больше всего интересовали проблемы, связанные с преобразованием вращательного движения в поступательное с помощью механических соединений. Работы в этом направлении вылились в изобретение параллельного движения Чебышёва. Это движение трех связанных стержней (шарниров), которое дает очень близкое приближение к точному прямолинейному движению. Вот наиболее значимые механизмы, изобретенные Чебышёвым.
- «Стопоходящая машина», ставшая, по сути, первым роботом. Принцип ее действия основан на параллельном движении Чебышёва, когда при помощи механизма из нескольких шарниров вращательное движение преобразуется в приближенно прямолинейное. Чебышёв, наблюдая за изобретенным им шарнирным механизмом, заметил, что его движение напоминает работу лошадиного копыта. Это натолкнуло его на идею добавить к устройству «ногу со стопой» — элемент, имитирующий движение конечности животного. Дальше Чебышёв прикрепил еще одну «ногу» к неподвижной оси — так механизм стал ближе к реальному существу с парой ног. Затем изобретатель сделал симметричную копию конструкции и соединил с первой для устойчивости — теперь у механизма появилось четыре «ноги», как у настоящей лошади. Чтобы согласовать фазы вращения «ног» для их слаженного движения, были добавлены специальные звенья, согласовывающие фазы вращения. Все оси Чебышёв объединил в единую систему с помощью общей платформы — это сделало конструкцию цельной и устойчивой. В итоге получился механизм, который внешне и по характеру движения напоминал скелет лошади — из-за этого его даже называли «лошадью Чебышёва». Стопоход мог двигаться только по прямой, поворачивать не умел. У него не было собственного двигателя, и чтобы привести механизм в действие, его нужно было либо тянуть за веревку, либо подталкивать сзади. Именно так «лошадь Чебышёва» и продемонстрировали на Всемирной выставке в Париже в 1878 году — ее подталкивали сзади, и она шагала вперед, имитируя походку настоящего животного.
- Арифмометр. Вычислительная машина с последовательной передачей десятков была также продемонстрирована на Всемирной выставке 1878 года в Париже. Устройство представляет собой цилиндр с десятью колесами с выгравированными последовательностями цифр от 0 до 9 на каждой. Слева самый старший разряд, справа самый младший, как при написании чисел. Для сложения первое слагаемое выставляется поразрядно в выделенном ряду, начиная с любой стороны, как на современных кодовых замках. Затем, начиная с младшего, колесо каждого разряда нужно прокрутить на себя количество раз, равное цифре в соответствующем разряде второго слагаемого. Сумма появляется в том же выделенном ряду. Для вычитания уменьшаемое вводится в любом порядке, затем, начиная с младшего, колесо каждого разряда нужно прокрутить от себя количество раз, равное цифре в соответствующем разряде вычитаемого. Разница отображается в выделенном ряду. На более ранних моделях арифмометров с прерывным изменением цифр колесо старшего разряда поворачивалось сразу на одно деление в момент перехода более младшего от 9 к 0. В отличие от них, устройство Чебышёва отличалось непрерывным изменением цифр. То есть при повороте колеса младшего разряда на одно деление следующий за ним более старший разряд поворачивался на 1/10 деления, еще более старший на 1/100 и т.д. Позднее Чебышёв усовершенствовал арифмометр, добавив к нему приставку, способную производить умножение и деление. Пафнутий Чебышёв создал арифмометр в XIX веке как научную демонстрацию. Его цель была не выпустить удобный рабочий инструмент, а показать новый принцип механического выполнения арифметических операций. Из-за этого устройство получилось не слишком удобным для повседневного использования, скорее экспериментальным образцом, чем готовым продуктом. Позднее изобретатель Вильгодт Однер (1845-1905) создал более практичное решение — зубчатый валик с изменяемым числом зубцов, названный колесом Однера. Оно легло в основу множества надежных и удобных механических арифмометров, в том числе хорошо известного в СССР «Феликса». В середине XX века, когда началась автоматизация вычислений, появились электрические счетные устройства — они работали гораздо быстрее механических, но в них сохранялся старый принцип прерывистого движения. Из-за высокой скорости работы прерывистое движение вызывало сильные механические толчки и вибрации. Именно в этот момент инженеры вспомнили об арифмометре Чебышёва. В его конструкции были заложены принципы плавного, непрерывного движения механизмов — это позволило избежать резких рывков. Так идеи Чебышёва сыграли важную роль при проектировании высокоскоростных вычислительных устройств.
- Сортировщик зерна. Принцип его работы был основан на том, что зерна партиями последовательно поступали в общую емкость, а затем резко выбрасывались вперед. При этом крупные, а значит и более качественные зерна и мелкие пролетали разные расстояния за счет разницы в массе и оказывались в двух разных лотках, расположенных друг за другом.
Личная жизнь Пафнутия Чебышёва
На протяжении всей жизни главным интересом для Пафнутия Львовича оставалась наука. Ей он посвящал все свое время. И если не трудился над очередной рукописью или не проводил опыты, то оставался наедине с книгами и самозабвенно предавался чтению. Жениться и обзавестись детьми Чебышёв не стремился, у него попросту не было на это времени. Однако он всегда поддерживал связь с братьями и сестрами. Особенно тепло относился к младшим братьям Николаю и Владимиру и старшей сестре Елизавете, которая вышла замуж за его учителя Алексея Тарасенкова. Несмотря на то, что еще со студенческих лет Чебышёв привык к довольно аскетичному образу жизни, он славился гостеприимством и всегда радушно встречал всех, кто навещал его в просторной квартире из семи комнат. В ней ученый выделил для себя лишь две комнаты, еще одну занимала прислуга, остальные четыре использовались для приема гостей. Во время работы в Петербургском университете Чебышёв сдружился с профессором прикладной математики Осипом Ивановичем Сомовым, как и сам Чебышёв, учивший некогда у Николая Брашмана. Коллеги много общались и в университете, и за его пределами, а большая и дружная семья Сомовых по сути дела стала для Чебышева родной.
Заслуженной любовью пользовался Пафнутий Львович и среди своих учеников, один из которых, Александр Ляпунов, стал инициатором издания уникальных лекций Чебышёва по теории вероятностей, воссоздав их тексты по собственным записям. Пафнутий Чебышёв скончался в Санкт‐Петербурге в 1894 году в возрасте 73 лет, за письменным столом во время работы, как и подобает истинному ученому, беззаветно преданному науке. Похоронен в селе Спас-Прогнанье (прим.ред.: сейчас Калужская область) в подклете Преображенской церкви.
Значение трудов Пафнутия Чебышёва для науки
Математические труды Чебышёва охватывали широкий спектр тем, включая теорию вероятностей, которая фактически началась с его исследований, квадратичные формы, ортогональные функции, теорию интегралов, зубчатые передачи, построение географических карт и формулы для вычисления объемов. Чебышёв был первым ученым, который начал систематически мыслить в терминах случайных величин и их моментов и математических ожиданий. Его важная работа по аппроксимации функций с помощью многочленов Чебышёва способствовала развитию прикладной математики.
Труды Чебышёва в области теории вероятностей стали важной вехой в развитии этой науки и послужили фундаментом для формирования русской школы теории вероятностей, созданной его непосредственными учениками.
Память о Пафнутии Чебышёве
Кроме уже упомянутых математических объектов, имя гениального математика Чебышёва носят несколько астрономических и географических единиц, а также улицы, образовательные учреждения, математический журнал, лаборатория в СПбГУ и суперкомпьютер в Вычислительном центре МГУ, а также награды, вручаемые за достижения в математике и теоретической механике.
В городе Боровск, рядом с которым родился Чебышёв, на стене одного из домов красуется фреска художника Владимира Овчинникова с изображением гениального земляка и нескольких его открытий.
На Доме академиков в Санкт-Петербурге, где жил Чебышёв и многие другие известные представители российской академической среды, наряду с еще несколькими десятками размещена памятная доска, посвященная Пафнутию Львовичу Чебышёву. А в 1953 году, когда в Москве на Алле ученых рядом с МГУ были установлены 12 бюстов выдающихся российских ученых и деятелей науки, одно из почетных мест занял памятник Пафнутию Чебышёву, созданный скульптором Иосифом Рабиновичем (1895-1977).
Пафнутий Чебышёв в вопросах и ответах
1. Кто такой Пафнутий Чебышёв?
Пафнутий Львович Чебышёв — известный русский математик, механик, изобретатель. Основатель Санкт-Петербургской школы математики. Талантливый лектор и преподаватель, вырастивший многочисленных последователей, ставших известными учеными. Автор десятков научных трудов в области математического анализа, теории вероятностей, теоретической механики. Его именем названы несколько важных математических понятий, в том числе неравенство Чебышёва, с помощью которого можно доказать закон больших чисел, теорема Бертрана — Чебышёва, многочлены Чебышёва, приближение Чебышёва, а также механизм Чебышёва и другие.
2. В чем состоит вклад Чебышёва в математику?
Пафнутий Чебышёв своими трудами в области математики вывел на уровень самостоятельной дисциплины теорию вероятностей. Наследие Чебышёва включает фундаментальные идеи, которые легли в основу современного представления о больших числах. Многочисленные работы Чебышёва по матанализу способствовали развитию математической мысли и укреплению сотрудничества научных сообществ России и Европы. Научные заслуги Чебышёва не утратили актуальности, они по-прежнему востребованы и изучаются современными исследователями.
3. Что такое неравенство Чебышёва?
Неравенство Чебышёва — фундаментальное математическое неравенство. В теории вероятностей оно позволяет оценить разброс данных вокруг среднего значения, задавая верхнюю границу вероятности значительных отклонений наблюдения от математического ожидания.
4. Какие открытия сделал Чебышёв в области теории вероятностей?
Главными достижениями Чебышёва в этой сфере стали неравенство Чебышёва и опирающееся на него обоснование закона больших чисел, а также наиболее общая формулировка этого закона.
5. Какие механизмы разработал Чебышёв?
Применяя глубокие математические познания в своих работах над созданием сложных устройств, Чебышёв придумывал разные механизмы, которые находили применение во многих сферах жизни. Например, прообраз современных калькуляторов — арифмометр Чебышёва. Кроме того, русский изобретатель создал несколько уникальных механических конструкций, главная особенность которых заключалась в преобразовании вращательного движения в иные его формы. Среди них: «стопоход», сортировщик зерна, самокатное кресло и другие.
6. Где работал Пафнутий Чебышёв?
Много лет Чебышёв преподавал в Императорском Санкт-Петербургском университете. Служил в Артиллерийском отделении Военно-ученого комитета. Трудился в ученом комитете в Министерстве народного просвещения.
***
Достижения Пафнутия Львовича Чебышёва стали весомым вкладом в развитие математики и многих ее областей, которые превратились в самостоятельные полноценные разделы благодаря Чебышёву. Его исследования в механике послужили толчком к появлению механизмов, принципы действия которых применяются во многих современных устройствах. Признанный одним из выдающихся ученых своего времени, Чебышёв и сегодня остается фигурой, чьи заслуги сохраняют научную актуальность.
Автор текста Наталья Сидорова
Изображение на обложке: Ai-generated
