Бесконечный узор из ромбов, который никогда не повторяется, но при этом идеально заполняет плоскость, — это знаменитое замощение Пенроуза. Если подняться в трёхмерное пространство, то аналогичная конструкция превращается в «Тетрис» из причудливых многогранников — ромбоэдров. Такая трёхмерная структура называют паркетом Пенроуза, и она описывает расположение атомов в необычных кристаллах, поставивших в тупик учёных 40 лет назад. Доцент Южно-Уральского государственного университета Александр Поляков предложил новый способ строить этот «звёздный паркет» с помощью фракталов — фигур, каждая часть которых подобна целому.
В 1982 году израильский физик Даниил Шехтман (позже — нобелевский лауреат) обнаружил кристалл, который вёл себя «незаконно». В обычных кристаллах атомы упакованы периодически — сдвиньте образец на шаг решётки, и всё совпадёт. А здесь атомы располагались с пятикратной симметрией (как у звезды), но при этом не образовывали повторяющегося узора. Такие объекты назвали квазикристаллами. Они встречаются в природе (например, в минералах из России) и могут обладать уникальными свойствами — низкой теплопроводностью, высокой твёрдостью, необычной электроникой. Но как описать положение атомов в этой «упорядоченной неупорядоченности»? Математической моделью как раз и служит трёхмерный паркет Пенроуза. Однако его компьютерная генерация требует осторожности: легко получить ошибки или наткнуться на огромные вычислительные сложности.
Александр Поляков пошёл необычным путём. Он использовал звёздчатые додекаэдры — многогранники, похожие на звезду, у которой вместо вершин — пирамидки на гранях куба. Если «складывать» такие звёзды особым математическим способом (сумма Минковского), а затем на каждом шаге масштабировать их с коэффициентом золотого сечения τ ≈ 1,618, то возникает фрактал. Вершины этого фрактала в точности совпадают с узлами трёхмерного паркета Пенроуза. В своей работе автор объединил три семейства таких фракталов: из вершин большого звёздчатого додекаэдра, из вершин малого звёздчатого додекаэдра, а также двумерные фракталы на основе ромбов, подчиняющихся правилу золотого деления (последовательность Фибоначчи). При этом в действие вступает группа Клейна — математический объект, отвечающий за определённые симметрии, — которая позволяет отсеять «лишние» точки и оставить только те, что действительно соответствуют настоящему квазикристаллу.
Создание квазикристаллов в лаборатории — дело дорогое и капризное. Компьютерное моделирование по методу Полякова позволяет заранее «вырастить» виртуальный образец, понять, какие атомы где окажутся, и предсказать свойства материала. А это прямой путь к сверхпрочным покрытиям, термоэлектрическим материалам (превращение тепла в электричество), а также к металлоорганическим каркасам — пористым структурам, которые могут ловить углекислый газ или служить контейнерами для лекарств. Работа А. Полякова показывает, что красивая математика (фракталы, золотое сечение, суммы Минковского) не просто украшает тишину кабинетов, а даёт инженерный инструмент для конструирования вещества с небывалыми свойствами. Даже знакомые по школьным урокам информатики фрактальные узоры — «дракон Хартера-Хейтуэя» или «треугольник Серпинского» — оказываются здесь не просто картинками, а чертежами материалов будущего.
Исследование опубликовано в Journal of Physics: Condensed Matter.
Источник: Минобрнауки России
