Как математика влияет на медицину, вспомнили на конференции к 100-летию академика Марчука.
При решении некоторых практических задач часто возникает необходимость понять начальные условия. Такие типы задач математики называют обратными и некорректными, а решать их приходится практически для всех технологических и научных направлений. Имя ученого, посвятившего годы жизни этим исследованиям, прозвучало в названии научной конференции, состоявшейся в Институте математики им. С.Л.Соболева Сибирского отделения РАН, - «Современные проблемы обратных задач: конференция к 100-летию со дня рождения академика Г.И.Марчука».
О личном опыте решения обратных некорректных задач академик Гурий Иванович Марчук рассказал в своей книге «Как управлять наукой»:
«После перенесенного в 1968 году гонконгского гриппа я стал каждый год ложиться в больницу с пневмонией, что никак меня не устраивало, и тогда я обратился за информацией к Председателю Академии медицинских наук, чтобы она дала мне всю информацию о больных пневмонией и научную литературу по пульмонологии и иммунологии. Это позволило мне сопоставить данные, и я увидел много противоречий между тем, что получается при математической обработке, и реальными процессами у больных пневмонией. Чтобы выйти из этого состояния, пришлось построить математическую модель совместными (с медиками) усилиями в междисциплинарном контакте, ведь математики не знают пульмонологию, а пульмонологи - математику».
Всемирно признанными основоположниками теории некорректных задач являются А.Н.Тихонов, В.К.Иванов и М.М.Лаврентьев. За выдающиеся научные результаты в этом направлении А.Н.Тихонов и В.К.Иванов были удостоены Ленинской премии, а М.М.Лаврентьев стал лауреатом Государственной премии.
Среди многочисленных приложений этой теории в докладах участников конференции фигурировали гидродинамика, медицина, геология, в том числе нефтегазовая.
Заведующая лабораторией ИИ-технологий математического моделирования биологических, социально-экономических и экологических процессов ИМ СО РАН доктор физико-математических наук Ольга Криворотько (на снимке) посвятила свой доклад исследованию динамики различных форм туберкулеза и прогнозированию его распространения на территории РФ.
В последнее время растет количество случаев устойчивых к лечению форм этого заболевания, осложненных сопутствующими инфекциями. Для построения сценариев развития туберкулеза в регионах РФ требуется учитывать гетерогенность его распространения, а также большой процент множественных лекарственно устойчивых форм болезни среди впервые выявленных носителей.
На основе принципов передачи и выявления инфекции, отраженных в моделях Гурия Марчука и Алексея Романюхи, построена новая модель динамики туберкулеза, учитывающая обнаружение инфицированных лиц. Она описывается системой нелинейных уравнений, объединенных законом действующих масс и контролируемых десятью эпидемиологическими параметрами. Проведена валидация решений на исторических данных и получены сценарии распространения эпидемии туберкулеза в Новосибирской области и Республике Тыва.
Докладчик из Байкальского госуниверситета (Иркутск) доктор технических наук Валерий Зоркальцев описал возможные алгоритмы расчета соотношения смертности рыб и промышленных выбросов в озеро Байкал, а коллеги из Института физико-технических проблем Севера (Якутск) рассказали об обратных и некорректных задачах исследования многолетней мерзлоты при потеплении климата.
Исходные параметры (теплофизические, массообменные и напряженно-деформационные) зависят от состояния поровой воды грунта, связь осуществляется через функцию количества незамерзшей воды. Численным моделированием установлено, что подземный трубопровод меняет свое положение в моменты замерзания и оттаивания. Достоверность проверена методом планово-высотного измерения магистрального газопровода на участках со сложными деформациями. Осенние дожди усиливают подтягивание незамерзшей воды к фронту промерзания и образуют избыточное давление. В результате совместное воздействие миграционных и паводковых вод приводит к разрушению берегов.
Ученый из Института системного программирования РАН доктор физико-математических наук Сергей Стрижак также посвятил свой доклад возможности расчетов природных катаклизмов, в частности паводков. Он рассказал, что частью цифровых двойников природно-технических систем могут быть нейронные сети, которые позволяют ускорить процесс вычислений в режиме реального времени. Для прямой задачи определяются скорость и уровень поверхности воды в гидроканале.
Полученные данные используются для обучения нейронной сети. Успешно применяются нейронные сети и для решения обратных задач геофизики. Иван Оборнев, старший научный сотрудник лаборатории адаптивных методов обработки данных Научно-исследовательского института ядерной физики им. Д.В.Скобельцына МГУ, в своем докладе рассказал о решениях обратных задач геоэлектрики на основе физически информированных нейронных сетей. Для этого приходится строить достаточно сложные нейронные сети, которые учитывают свойственную решаемой задаче физику проблемы.
Помимо природных явлений и катаклизмов при помощи теории обратных задач можно моделировать и социальные процессы. В нескольких докладах конференции прозвучал термин «Mean Field Games» - теория игр среднего поля, которая несколько лет назад (годы эпидемии ковида) получила большую популярность в европейских странах. Теория изучает принятие стратегических решений малыми взаимодействующими агентами в больших популяциях. Важной категорией игр среднего поля являются игры с конечным числом состояний и действий на игрока.
Парадигма игр среднего поля стала важным связующим звеном между распределенным принятием решений и стохастическим моделированием. Возникнув в литературе по стохастическому управлению, она быстро нашла применение в различных приложениях, в частности при расчете распространения эпидемий и прогнозах финансового рынка. Математические модели в экономике бывают абсолютно революционными. Единственный российский нобелевский лауреат-математик Леонид Канторович получил премию именно за вклад в экономику.
Теория игр среднего поля посвящена анализу дифференциальных игр с бесконечным числом игроков. Для динамических игр с такой большой популяцией игроку нереально собирать подробную информацию о состоянии всех остальных игроков. К счастью, эта невыполнимая задача бесполезна: теория игр среднего поля объясняет, что достаточно просто реализовывать стратегии, основанные на распределении других игроков. Профессор Михаил Клибанов из Университета Северной Каролины рассказал: тема Mean Field Games настолько захватила его, что за последние два года он посвятил ей 11 работ, в соавторстве с Юрием Авербухом из Высшей школы экономики.
Одна из научных работ досконально изучала коррупцию, причем с математической точки зрения. Получилось даже вывести математическую модель, описывающую развитие искаженной иерархии, и рассмотреть ретроспективную задачу для этой модели. Другими словами, заветная формула готова, можно применять в социуме.
Мария РОГОВАЯ
Обложка: фото предоставлено пресс-службой ИМ СО РАН
