Вообразите рецепт, по которому можно приготовить сложнейшее блюдо — скажем, поведение квантовой частицы. Шаги есть, продукты известны, но вот время приготовления не указано. Теперь эта проблема решена: впервые за полвека ученые точно определили, как быстро "доходит до готовности" один из самых фундаментальных математических методов.
В 1968 году математик Пол Чернов предложил элегантную схему приближений для вычисления так называемых полугрупп операторов — ключевых математических объектов, описывающих, как меняются состояния систем во времени. Эти полугруппы особенно важны при моделировании сложных процессов: от охлаждения кофе до поведения квантовых частиц и теплопередачи в машинах.
Метод Чернова позволял получать нужные результаты, шаг за шагом приближаясь к истине. Однако оставался один неразрешённый вопрос — с какой скоростью происходит это приближение? Другими словами, сколько шагов нужно сделать, чтобы результат стал достаточно точным? Эта неопределенность сдерживала практическое применение метода.
Спустя более пятидесяти лет российские математики Олег Галкин и Иван Ремизов из нижегородского кампуса НИУ ВШЭ смогли ответить на этот вопрос. Они разработали строгую теорему, описывающую скорость сходимости приближений и показали, как выбор вспомогательных функций Чернова влияет на точность.
«Мы доработали рецепт и определили, какие ингредиенты подходят лучше всего, чтобы сделать метод более быстрым и эффективным»
— Иван Ремизов, старший научный сотрудник НИУ ВШЭ
Новая формула показала: если правильно выбрать вспомогательные функции, то точность вычислений растет в разы быстрее. Чем выше качество этих функций, тем быстрее результат стремится к точному значению. Это значит, что в самых разных областях науки — от квантовой физики до теплообмена — теперь можно проводить моделирование с гораздо большей эффективностью.
Работа Галкина и Ремизова не только решает задачу, которую не могли закрыть более полувека, но и открывает перед учеными новые горизонты. Вычисления, ранее считавшиеся слишком ресурсоемкими или неточными, становятся доступными.
Источник: НИУ ВШЭ
