Ученые из НИУ ВШЭ разработали революционный метод анализа сложных нелинейных уравнений, описывающих динамические системы, такие как колебания оболочек или квантовый хаос. Их подход основан на теореме Колмогорова–Арнольда, которая позволяет представить функции многих переменных через комбинации более простых функций. Это открывает новые возможности для изучения бифуркаций — критических точек, где система резко меняет свое поведение, что важно для прогнозирования устойчивости конструкций или хаотических процессов.
Метод, предложенный исследователями, сводит сложные уравнения в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, которые легче анализировать. Это похоже на разбор головоломки на более простые части. Ученые протестировали метод на известной задаче Брату, которая моделирует процессы в физике и инженерии, и получили результаты, совпадающие с точными решениями. Особенно впечатляет, что метод работает даже там, где традиционные подходы, такие как метод конечных разностей, дают лишь приближенные ответы.
Одним из ключевых достижений работы является возможность построения полной бифуркационной картины, включая первичные и вторичные ветвления решений. Это позволяет не только находить критические точки, но и предсказывать, как система поведет себя после них. Например, такой анализ может помочь инженерам избежать катастрофических разрушений конструкций при изменении нагрузок.
Исследователи использовали три формулировки теоремы Колмогорова–Арнольда, каждая из которых предлагает уникальный способ упрощения уравнений. Несмотря на математическую сложность, метод дает гладкие и точные решения, что делает его практичным для реальных задач. Работа также вносит вклад в фундаментальную науку, преодолевая разрыв между абстрактной теорией и прикладными вычислениями.
Эта разработка имеет широкие перспективы применения — от проектирования устойчивых зданий и мостов до моделирования климатических изменений и квантовых систем. Ученые планируют расширить метод для решения еще более сложных задач, что может привести к новым открытиям в физике, инженерии и машинном обучении. Их работа — яркий пример того, как глубокие математические теории могут преобразовать современные технологии.
Результаты работы опубликованы в журнале «Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика».
Создано при поддержке Минобрнауки РФ в рамках Десятилетия науки и технологий (ДНТ), объявленного Указом Президента Российской Федерации от 25 апреля 2022 г. № 231.
