Разработан новый метод, который позволяет «заглянуть внутрь» сложных физических процессов и точно определить ключевой параметр, скрытый в математическом описании волновых явлений. Этот прорыв может найти применение в самых разных областях — от диагностики материалов до прогнозирования природных катаклизмов.
Речь идет о так называемых «обратных задачах» — когда по результатам наблюдений нужно восстановить причину, которая их вызвала. Представьте, что вы слышите эхо в горах и по его характеру пытаетесь не просто определить расстояние до скалы, а понять саму структуру горной породы. Именно такие сложные задачи и решают математики.
В данном случае исследователь из Пензенского государственного университета, кандидат технических наук Владимир Рязанцев предложил алгоритм для определения «порядка дробной производной» в обобщенном волновом уравнении. Если не вдаваться в сложную терминологию, это уравнение описывает распространение волн в средах с памятью и нестандартной диссипацией энергии, например, в некоторых биологических тканях или сложных геологических структурах. Классическая формула здесь не работает, а параметр, известный как «дробный порядок», критически важен для точности модели, но на практике его крайне сложно измерить напрямую.
Новый метод позволяет вычислить этот загадочный параметр, если известно всего одно дополнительное измерение — значение волнового поля в произвольной точке пространства в определенный момент времени. Это похоже на то, как если бы для точной настройки сложного музыкального инструмента достаточно было услышать всего одну сыгранную им ноту.
В основе алгоритма лежит элегантное преобразование исходной задачи в так называемое «интегральное уравнение», которое затем решается с помощью специального численного подхода — непрерывного операторного метода. Его можно представить как процесс постепенного «наведения на резкость», когда изначально грубое предположение о параметре последовательно уточняется, пока компьютерная модель не начнет точно соответствовать единственному известному измерению.
Эффективность метода была блестяще продемонстрирована на тестовом примере. Алгоритм смог восстановить точное значение параметра (равное 0.5) с высокой точностью, начиная с самых разных и даже очень неточных начальных предположений — как с 0.9, так и с 0.1. С каждым шагом вычислений приближенное значение неуклонно стремилось к верному, демонстрируя надежность и устойчивость метода.
Эта работа открывает новые горизонты для математического моделирования в физике, инженерии и геологии. Подход можно адаптировать для решения целого класса сложных обратных задач, где нужно определить неизвестные параметры системы по ограниченным и зашумленным данным. В будущем это может привести к созданию более точных систем неразрушающего контроля, улучшенных методов медицинской диагностики и достоверных моделей для прогнозирования распространения сейсмических волн.
Исследование опубликовано в журнале «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки»
Создано при поддержке Минобрнауки РФ в рамках Десятилетия науки и технологий (ДНТ), объявленного Указом Президента Российской Федерации от 25 апреля 2022 г. № 231.
