Когда лёд тает, превращаясь в воду, или металл плавится в печи, за этими привычными процессами стоят чрезвычайно сложные математические законы. Ученые давно бьются над точным описанием так называемых двухфазных систем, где вещество одновременно существует в двух состояниях, разделенных подвижной и изначально неизвестной границей. Представьте, что вы пытаетесь рассчитать, как именно будет таять ледяная скульптура, но её форма постоянно меняется, и граница между льдом и водой нестабильна. Именно такие задачи — задачи Стефана — уже более ста лет остаются одними из сложнейших головоломок для математиков и физиков.
Группа российских исследователей из Тихоокеанского и Новосибирского государственных университетов совершила прорыв в этой области. Им удалось разработать новый математический аппарат, который позволяет строго обосновать возможность построения точных решений для таких процессов. Ключевая проблема, которую они решили, заключалась в следующем: при построении приближенных решений традиционные математические теоремы о компактности (своего рода «теоремы о сходимости») перестают работать. Эти теоремы требуют, чтобы у семейства функций были «хорошие», ограниченные вторые производные во всей области. Но в задачах с фазовыми переходами на самой границе раздела как раз происходит скачок температуры и потока тепла, что делает вторые производные «плохими» — неограниченными или несуммируемыми.
Российские ученые нашли остроумный выход. Они доказали новую теорему компактности, которая работает именно в таких сложных условиях. Её суть можно описать так: даже если для всей области в целом «хороших» оценок нет, но они есть для последовательности сужающихся подобластей, охватывающих границу фаз, то можно совершить предельный переход и получить точное решение. Представьте, что вы фотографируете быстро движущийся объект на размытом фоне. Если вы делаете много снимков, каждый раз всё точнее фокусируясь на самом объекте, то в итоге сможете собрать из них одно четкое изображение. Примерно так же работает и новый математический метод.
Это фундаментальное достижение открывает путь к созданию более точных математических моделей в самых разных областях науки и техники. От расчета процессов кристаллизации в металлургии и прогнозирования формирования ледового покрова в океанологии до моделирования распределения лекарств в биологических тканях и разработки новых материалов с заданными свойствами. Теперь у инженеров и исследователей появится более надежный инструмент для предсказания поведения веществ в экстремальных и быстро меняющихся условиях.
Работа, выполненная при поддержке Минобрнауки России, — это яркий пример того, как абстрактная математическая теория находит прямое применение в решении самых актуальных прикладных задач, стоящих перед современной наукой и промышленностью.
Исследование опубликовано в «Дальневосточном математическом журнале»
Создано при поддержке Минобрнауки РФ в рамках Десятилетия науки и технологий (ДНТ), объявленного Указом Президента Российской Федерации от 25 апреля 2022 г. № 231.
